Problema de programación lineal

(Problema sacado de guías de Educandus, resuelto a través del método punto esquina)

Una fábrica produce confituras de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más 800 unidades.

Además, el triple de la producción de confitura de albaricoque mas el doble de la producción de confitura de ciruela es menor  igual a 2400 unidades.

Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 60 E, y cada unidad de confitura de ciruela 80 E ¿Cuántas unidades de cada tipo de confituras se tienen que producir para obtener un beneficio máximo?

                  Paso 1: Debemos identificar las variables que intervienen.

                             X= número de confituras de albaricoque.

                             Y= número de confituras de ciruelas.

                  Paso 2: se plantea la función objetivo.

                              Z=beneficios a optimizar

                              Z= 60x+80y

                  Paso 3: definimos las restricciones mencionadas en el problema.

                              a) x ≥ 0 (Por el tipo de problema no se puede tener una producción negativa)

                              b) y ≥ 0 (Por el tipo de problema no se puede tener una producción negativa)

                              c) 2y ≤ x + 800

                              d) 3x + 2y ≤ 2400

                  Paso 4: Resolución.

                             Despejamos la dos ecuaciones.

                             Trazo de la gráfica de la función lineal y hallo la región factible.

                              2y = x + 800        =>  y = (x+800) / 2

                  luego reemplazo la y = 0 e x = 0 para obtener los puntos que se representaran en el plano                   

                               X    0     -800

                               Y  400      0

                   Obtenemos los puntos (0,400) y (-800,0)      

                                                                                                                                  (Gráfico realizado con fooplot.)

                  Segunda restricción:

                              3x + 2y = 2400     => y = (2400 - 3x) / 2

                  reemplazamos la y = 0 e x = 0 para obtener los puntos que se representaran en el plano

                             X    0       800

                             Y  1200      0

                  Obtenemos los puntos (0,1200) y (800,0)

                                                                                                                                      (Gráfico realizado con fooplot.)

                 Como tenemos las restricciones X ≥ 0 e Y ≥ 0 nuestra solución debe estar en el primero cuadrante

                  El máximo es el punto mas alejado. En este caso el punto rojo de contacto de las rectas:

                   se tomó una de las restricciones y se dejó en función de x.

                             2y = x + 800

                             -800+ 2y = x  

                  luego tomamos la segunda restricción y reemplazamos x por la restricción anterior.

                             3x + 2y = 2400  => 3(-800+2y)+2y=2400   =>    -2400+8y=2400 =>   y=4800/8 =>600 como   y = 600

                  luego de haber obtenido el valor de y lo remplazamos en una de las restricciones. 

                             -800+2(600)=x     =>  x=400

                  Ahora tomo  mi función  Z= 60x+80y y reemplazo los puntos obtenidos para comprobar:

                            (800,0) Z= 60*800+80*0=48000

                            (0,400)   Z= 60*0+80*400=32000

                            ( 400,600)  Z= 60*400+80*600=72000

                                                                                                 (Gráfico realizado con fooplot.)

                  R= Por lo tanto los puntos (400,600) son los que se que  maximizan la función

                Integrantes: Sergio Letelier

                                   Aldo Espinoza