puntes para la enseñanza de la Geometría

Esta es una transcripción de algunos fragmentos de un artículo titulado: "Apuntes para la enseñanza de la geometría. El modelo de enseñanza - aprendizaje de van Hiele" .

Escrito por la maestra Gloria María Braga quien es profesora del Departamento de Ciencias de la Educación de la Universidad de Oviedo, España.

El artículo está publicado en la revista Signos, Teorías y Prácticas de la educación. Número 4, páginas 52 - 57. Julio - Diciembre de 1991.

"Si hacemos una revisión de los trabajos de investigación de didáctica psicológica relacionados con la enseñanza de la geometría, nos encontramos con un escasísimo número de ellos, sobre todo en comparación con los referidos al número y a las operaciones aritméticas. Las dos escuelas psicopedagógicas que más ideas han aportado al respecto, han sido la escuela piagetiana y la de los esposos van Hiele, que aunque han publicado sus estudios e investigaciones con anterioridad a los años 60, han permanecido ignorados hasta muy recientemente.

En los años 50, los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina van Hiele-Geldof, trabajaban como profesores de geometría de enseñanza secundaria en Holanda. A partir de su experiencia docente, elaboraron un modelo que trata de explicar por un lado cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y por otro cómo puede un profesor/a ayudar a sus alumnos/as para que mejoren la calidad de su razonamiento. De esta forma los componentes principales del modelo van Hiele son la "teoría de los niveles de razonamiento", que explica cómo se produce el desarrollo en la calidad de razonamiento geométrico de los estudiantes cuando éstos estudian geometría, y las "fases de aprendizaje", que constituye su propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de enseñanza-aprendizaje en el aula, con el objeto de facilitar el ascenso de los estudiantes de un nivel de razonamiento al inmediatamente superior. Vamos a explicar brevemente en qué consisten ambos componentes del modelo.

Los niveles de razonamiento

Los niveles de razonamiento describen los distintos tipos de razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación matemática, que va desde el razonamiento intuitivo de los niños de preescolar hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las Facultades de Ciencias. De acuerdo con el modelo de van Hiele si el aprendiz es guiado por experiencias instruccionales adecuadas, avanza a través de los cinco niveles de razonamiento, empezando con el reconocimiento de figuras como todos (nivel 1), progresando hacia el descubrimiento de las propiedades de las figuras y hacia el razonamiento informal acerca de estas figuras y sus propiedades (niveles 2 y 3), y culminando con un estudio riguroso de geometría axiomática (niveles 4 y 5). El nivel 1 es denominado nivel de reconocimiento o visualización; el nivel 2, nivel de análisis; el nivel 3 clasificación o abstracción; el nivel 4 deducción, y el nivel 5 rigor. El modelo es recursivo, es decir cada nivel se construye sobre el anterior, concidiéndose el desarrollo de los conceptos espaciales y geométricos como una secuencia desde planteamientos inductivos y cualitativos, hacia formas de razonamiento cada vez más deductivas y abstractas. En la bibliografía existente sobre el tema se pueden encontrar listas muy completas de las características de los distintos niveles.

Las fases de aprendizaje

Mientras que los niveles de razonamiento nos orientan acerca de cómo secuenciar y organizar el currículo geométrico de una forma global, el objetivo de las Fases de aprendizaje es favorecer el desplazamiento del alumno/a de un nivel al inmediatamente superior mediante la organización de las actividades de enseñanza-aprendizaje, lo que ha permitido que el modelo tuviera una influencia real en la elaboración de currículos de geometría en distintos países como es el caso de la Unión Soviética, E.E.U.U., Países Bajos, etc.

Las fases de aprendizaje son las siguientes:

-Información.
-Orientación dirigida.
-Explicitación.
-Orientación libre.
- Integración.

Resumiendo. Las características fundamentales de cada fase, en la primera se pone a discusión del alumno/a material clarificador del contexto de trabajo. En la segunda fase se proporciona material por medio del cual el alumno/a aprenda las principales nociones del campo de conocimiento que se está explorando. El material y las nociones a trabajar, se seleccionarán en función del nivel de razonamiento de los alumnos/as. En la tercera fase conduciendo las discusiones de clase, se buscará que el alumno/a se apropie del lenguaje geométrico pertinente. En la cuarta fase se proporcionará al alumno/a materiales con varias posibilidades de uso y el profesor/a dará instrucciones que permitan diversas formas de actuación por parte de los alumnos/as. En la quinta fase se invitará a los alumnos/as a reflexionar sobre sus propias acciones en las fases anteriores. Como resultado de esta quinta fase, los autores entienden que el alumno/a accede a un nuevo nivel de razonamiento. El estudiante adopta una nueva red de relaciones que conecta con la totalidad del dominio explorado. Este nuevo nivel de pensamiento, que ha adquirido su propia intuición, ha sustituido al dominio de pensamiento anterior.

¿Qué tipo de problemas hemos de presentar a los alumnos/as para que su actividad e investigación en torno a los mismos les conduzca hacia formas superiores de intuición y abstracción geométrica?

En la situación actual de la enseñanza de la geometría, y particularmente en el caso español, la insistencia de enseñar geometría se hace patente. Ahora bien, ya no se trata sólo de defender la importancia y necesidad de enseñar geometría, sino que el problema crucial en este momento es el de discutir qué geometría debe ser enseñada en la Escuela y cómo. En definitiva nos encontramos en un momento histórico en el que la reacción al carácter deductivo y formal que la enseñanza de la geometría ha adoptado en los últimos tiempos nos obliga a investigar los problemas didácticos implicados en su enseñanza. Para ello el modelo de van Hiele se presenta como enormemente rico.

Si a eso le unimos el proceso de reforma curricular en la que se encuentra nuestro país en la actualidad, y en el que la enseñanza de la geometría parece volver a tener un papel relevante en la enseñanza primaria y secundaria, alejándose de la postura claramente ``modernista" adoptada en los Programas Renovados, la necesidad de dar a conocer el modelo en el campo educativo español parece relevante y necesaria.

Implicaciones curriculares del modelo

El modelo de van Hiele proporciona un esquema útil de organización del currículo y del material de aprendizaje que ha tenido una influencia real en la elaboración de currículos de geometría en distintos países., como es el caso de la Unión Soviética. Los educadores soviéticos fueron los únicos, a excepción de los holandeses (país de origen del modelo), que al conocerlo y tras unos años de intensas investigaciones y experimentaciones, incorporan el modelo de van Hiele como base teórica para la elaboración de la nueva forma curricular que estaban poniendo en marcha y cuya implantación definitiva se produce en 1964. Mucho más tarde ser iniciaron en E.E.U.U. y Europa investigaciones curriculares en esta línea, aunque de mucha menos relevancia que los trabajos soviéticos.

De la revisión de las aportaciones teóricas y prácticas del modelo van Hiele en la comunidad educativa internacional (Unión Soviética, E.E.U.U., Canadá, Holanda, y España), así como de las diversas investigaciones y desarrollos curriculares basados en el mismo, se pueden deducir una serie de implicaciones generales de carácter curricular:

* Es necesario introducir más geometría desde el primer año en las clases de primaria y secundaria, no siendo conveniente separar la geometría de las matemáticas en la enseñanza primaria.
* En los primeros años se debe fomentar un trabajo geométrico de carácter cualitativo, que asegure la formación de conceptos y la imaginación espacial.
* En el currículo geométrico la presentación de la materia debe iniciarse en el espacio para pasar inmediatamente después al plano .
* Es necesario enseñar geometría informal a los alumnos/as de enseñanza secundaria.
* Los estudios de geometría deben ser continuos (sin periodos de inactividad) , uniformes (sin pasar por alto ningún nivel de razonamiento), y diversificados, es decir, familiarizando a los alumnos y alumnas de forma simultánea con la geometría bi y tridimensional.
* Básicamente los mismos contenidos han de ser enseñados en la enseñanza primaria y secundaria. Estos contenidos geométricos han de ser tratados cíclicamente en niveles de complejidad creciente. La secuenciación de dichos contenidos a través del currículo estará determinada por el análisis de cada tópico en función de la estructura del modelo, lo que determinará un tratamiento distinto en cada nivel, avanzando desde los aspectos cualitativos a los cuantitativos y abstractos.

De la revisión de los trabajos realizados a nivel internacional sobre el modelo de van Hiele , se puede deducir también un conjunto de principios de procedimiento, entendidos éstos como ``normas dirigidas al profesor indicándole actitudes en su trabajo".

Principios de procedimiento

1.El profesor/a partirá del hecho de que los estudiantes poseen un almacén significativo de concepciones y propiedades de los objetos materiales.

2.El profesor /a procurará , a partir de la experiencia previa de los alumnos/as -es decir de la observación de figuras concretas-, que formen estructuras geométricas , y pondrá en relación estas observaciones con una forma ``geométrica" de verlas.

3.El profesor/a diseñará actividades de enseñanza-aprendizaje en el aula teniendo en cuenta el nivel lingüístico y de razonamiento de los alumnos/as.

4.El profesor/a procurará conocer de qué forma es estructurado el espacio de forma espontánea por los alumnos/as, para partiendo de esa percepción, diseñar actividades que permitan al estudiante construir estructuras visuales geométricas y por fin razonamiento abstracto. Para ello el profesor/a modificará progresivamente el contexto en el que aparecen los objetos en una dirección matemática alejándose del empirismo.

5.El profesor/a estará atento a la adquisición de ``insight" (8) por parte de los alumnos/as, para lo que es necesario que el diálogo sea la pieza clave de la enseñanza. El profesor/a animará a los alumnos/as a hablar acerca de los conceptos geométricos y a desarrollar un lenguaje expresivo , respetando en un primer momento sus propias expresiones y lenguaje , para ir introduciendo progresivamente el lenguaje geométrico.

6.El profesor/a procurará conocer el correlato mental de las palabras y conceptos que utilizan los alumnos/as y que él necesita, por medio de actividades diseñadas a tal fin y por medio del uso continuo del diálogo en el aula.

7.El profesor/a diseñará actividades de clarificación y complementación de dicho correlato mental que permitan que éste coincida con el significado de la palabra en la disciplina.

8.El profesor/a fomentará el trabajo consciente e intencional de los alumnos/as con la ayuda de materiales manejables. El material ha de poseer el fundamento del desarrollo lógico de la geometría. El material ha de ser autocorrectivo.

9.El profesor/a permitirá a los alumnos/as trabajar con material concreto sólo cuando sea necesario para construir la teoría. El periodo de acumulación de hechos de forma inductiva no debe ser prolongado demasiado. El alumno/a debe y puede usar la deducción.

La necesidad ahora , es la de profundizar y definir más adecuadamente las Fases de aprendizaje , investigando su valor y aplicación didáctica, así como desarrollar materiales y proyectos curriculares inspirados en el modelo, que permitan evaluar el interés del mismo a través de su puesta en práctica en el aula, ahora que el modelo y las investigaciones desarrolladas en torno a él han dejado por lo menos una cosa clara:

``El pensamiento geométrico puede ser accesible a todo el mundo"

(*) Gloria María Braga Blanco es profesora del Departamento de Ciencias de la Educación de la Universidad de Oviedo. Teléfono de contacto 985357345.

Referencias bibliográficas

ARRIETA, J. J. (1987): Teoría y práctica de las matemáticas en el ciclo inicial de E.G.B. Facultad de Filosofía y CC. de la Educación. Oviedo. Tesis doctoral
ARRIETA, J. J. (1989): "Investigación y docencia en Didáctica de las Matemáticas: hacia la constitución de una disciplina". Separata de Studia Paedagógica. n° 21. Salamanca.
BURGER,W. F. y SHAUGHNESSY, J. M. (1985): "Spadework prior to deduction in geometry". The Mathematics teacher. Vo1.78. pp. 419-428.
BURGER,W. F. y SHAUGHNESSY, J. M. (1986): "Characterizing the Van Hiele levels of development in Geometry". Journal for research in Mathematics Education. Vol 17 (1). pp. 31-48.
CROWLEY, M. L. (1987): "The van Hiele model of development of geometric thought". En N.T.C.M.: Learning and teaching geometry, K12. N.T.C.M., Resten, pp. 1-16.
FREUDENTHAL, H. (1973): Mathematics as an educational task. D. Reidel. Dordrecht.
FUYS, D.; GEDDES, D. y TISCHLER, R. (1984): English translations of selected wirtings of van Hiele. School of Educ. Brooklyn College. City Univ, of N.York, N. York.
FUYS, D.; GEDDES, D. y TISCHLER, R. (1988): The van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. (Informe final). Journal for research in Mathematics Education. Monográfico n° 3.
GUTIERREZ, A. y JAIME,A. (1987): " Estudio de las características de los niveles de van Hiele".
En HERSCOVICS, N. y KIERAN, C. (eds.): Proceedings of the 11 th International Conference of the PME Vol, 3. Los autores (eds). Montreal. pp. 131-137.
GUTIERREZ, A. y JAIME, A. (1989): "Bibliografía sobre el modelo geométrico de van Hiele". Enseñanza de las Ciencias. vol nq 1, pp. 89-95.
GUTIERREZ, A. y JAIME, A. (1990): "Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: el modelo de van Hiele".
LUNARES, S. y SÁNCHEZ GARCIA, M. V. Teoría y práctica en educación matemática. Alfar. Sevilla. pp. 298-384.
HERNÁNDEZ, J. (1978): La enseñanza de las matemáticas modernas. Alianza Universidad. Madrid. HOFFER,A. (1983): "Van Hiele based reserach".
RICHARD, L. y LANDAU, M. (Eds): Acquisition of Mathematics concepts and processes. Academic Press. New York. pp. 205-226. KILPATRICK, J. y WIRSZUP, I. (1977): Soviet studies in psychology of learning and teaching mathematics. Vol 1. Chicago.
MAYBERRY, J. (1983): " The van Hiele leeels of geometric thought in undergraduate pre-service teachers". Journal for research in Mathematics Education. Vol 14. pp. 58-69.
PIAGET y otros (1978): La enseñanza de las matemáticas modernas, Alianza Universidad. Madrid.
ROZADA, J. M;: CASCANTE,C. y ARRIETA, J. J. (1989): Desarrollo curricular y formación del profesorado. Cyan. Gijón.
TRFFERS, A. (1987): The dimensions. D. Reidel. Dordrecht.
USISKIN, Z (1982): Van Hiele leeels and achievement in secondary school geometry. (informe final). Department of Education. University of Chicago. Chicago.
VAN HIELE, P. M. y VAN HIELE-GELDOF, D. (1958): "A method of initiation into geometry at secondary schools".
En, FREUDENTHAL, H. (ed.): Report on methods of initiation into georrtetry. J. B. Wolters. Groningen. pp. 67-80.
VAN HIELE, P. (1986): Structure and insight. Academic Press. New York.
WIRSZUP, I (1976): "Breakthroughts in the psychology of learning and teaching geometry".
En MARTIN, J. L. y BRADBARD, D. A. (eds.): Space and geometry. Martín, J. L. y Bradbard, D. A. Columbus, pp. 75-97.

Continúa con:

Reconocer figuras ...
Juego con figuras ...
Euclides ...
Geometría clásica