Anecdotario matemático

Galois

Évariste Galois (1811-1832) era un niño raro. O, al menos, eso decían sus profesores. Inteligente, original y con gran facilidad para las matemáticas, pero raro. Además de un gran matemático, fue el prototipo del hombre apasionado y vital del Romanticismo. A los doce año ya discutía sobre política y sobre arte. Se enfrentaba a sus profesores y se entusiasmaba con los escritores románticos. Su mayor deseo era estudiar matemáticas, así que se preparó para ingresar en una Escuela Politécnica. En pleno examen de ingreso se enfrentó a los miembros del tribunal, cuyas preguntas consideraba un poco tontas. Fue suspendido. A los 17 años publicó un artículo sobre fracciones continuas, creando la teoría de grupos, una rama de las matemáticas que incide en aritmética, cristalografía, física de partículas y el cubo de Rubik. Simultáneamente suspendía, por segunda vez, el examen de matemáticas para entrar en la École Polytechnique. Galois siguió sus investigaciones por su cuenta.

Los babilonios conocían la solución de la ec. de 2º grado. Los italianos Scipione dal Ferro y Niccolò Fontana (Tartaglia) resolvieron la cúbica a principios del s. XVI. Casi en la misma época el italiano Lodovico Ferrari resuelve la de grado cuarto. En casi 300 años no se había avanzado ni un milímetro. En 1829 Galois presentó sus trabajos a la Academia de Ciencias francesa, pero Cauchy, encargado de informar sobre ellos, no lo hizo (según la leyenda, los perdió). Poco después presentó una monografía para optar a un premio, que fue asignado a Fourier, pero éste murió y la monografía nunca se encontró. En 1831 volvió a la carga, y su memoria fue encomendada a Poisson, quien recomendó a la Academia que lo rechazase. Galois empieza a asistir a las sesiones para insultar a los oradores. Su padre se había suicidado y su madre le abandonó; estuvo en la cárcel por su activa participación en la revolucion de 1830. El mismo día en que sale de prisión (tiene entonces veintiún años) sus enemigos le retan en duelo (según dicen por causa de una "infame coqueta de baja estofa"). El acepta. Pasa toda la noche recopilando sus teorías. Angustiado porque ve que llega el amanecer, va anotando al margen: "No tengo tiempo, no tengo tiempo...", terminando "...confío en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo". A la mañana siguiente, el 30 de mayo de 1832, se bate en duelo y cae herido de muerte.

Galton

Sir Francis Galton (1822-1917) nació en Birmingham. Sus trabajos más importantes conectaron con sus dos grandes aficiones: el estudio de la herencia y la expresión matemática de los fenómenos vinculados a ella. Galton nació el mismo año que George Mendel, con quien tenía gran afinidad, y además era primo, por parte de su madre, del célebre Charles Darwin. Fue el primero en asignar un numero a un conjunto de variables, y de esta forma obtener una medida del grado de relación existente entre ellas. Sostenía la idea de que personas excepcionalmente altas solían tener hijos de estatura menor a la de sus progenitores, mientras que personas muy bajas solían tener hijos más altos que sus padres; este hecho lo enunció Galton como la regresión a la mediocridad, aplicables a las tallas de una generación respecto de las siguientes. Este principio se considera la primera falacia sobre la teoría de la regresión (v.). La justificación que se da hoy día a este hecho es que los valores extremos de una distribución se deben en gran parte al azar. Galton construyó un ingenioso dispositivo que lleva su nombre (aparato de Galton): sobre un tablero inclinado están distribuidos regularmente un sistema de clavos que permiten deslizar un gran número de bolas que proceden de un depósito superior. Las bolas, al chocar con los clavos, se alejan en mayor o menor medida de la línea central de caída, según la ley de azar. Recogiendo estas bolas en compartimentos estrechos, distribuidos a lo largo del borde inferior del tablero, las alturas que alcanzan las bolas en las distintas columnas varían según una ley binomial. Hace pocos años, el Science Materials Center construyó, bajo el nombre de Hextat, un aparato análogo, al que se ha llamado demostrador mecánico de probabilidad.

Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático alemán, fue un niño prodigio, y continuó siendo prodigio toda su vida hasta el extremo que se le ha llamado el Príncipe de los Matemáticos, si bien su linaje no fue nada aristocrático, pues nació en una miserable cabaña y sus padres eran pobres. Sus contribuciones a la matemática, la física matemática y otras ramas aplicadas de la ciencia, como la Astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. Nunca publicó un trabajo hasta asegurarse de que estaba perfectamente elaborado, por lo cual no hay forma de saber cómo obtenía sus resultados (llegó a decir "cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios", pero, continuando con su metáfora, Gauss no solamente retiró los andamios sino que destruyó los planos. Jacobi dijo: "sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer es descongelarlas". Abel (v.) observó "Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena").

Fue muy precoz. Antes de cumplir tres años corrigió a su padre en la cuenta de la paga a los obreros, sin que nadie le hubiera enseñado aritmética. A los 10 años el maestro propuso en clase el problema de sumar 1+2+...+100. Apenas había terminado de enunciarlo, cuando Gauss puso su pizarra en la mesa del profesor. Al cabo de una hora sus compañeros terminaron el tedioso cálculo. Sus pizarras estaban repletas de sumas, mientras que en la de Gauss sólo había un número. Era la única respuesta correcta. A Gauss le encantaba, en su vejez, contar esta anécdota. El maestro le compró con su propio dinero un libro de aritmética y se lo regaló. El libro contenía una demostración del teorema del binomio poco rigurosa; a Gauss no le gusto, y construyó otra mejor. A los 19 años había demostrado importantes teoremas de teoría de números, que con anterioridad Euler (v.) y Legendre habían intentado demostrar sin éxito. Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para los polígonos regulares de 3, 4, 5, y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección, pero ninguno más. En 2.000 años nadie había avanzado nada en este problema. En marzo de 1796, con 18 años, encontró una construcción para el polígono de 17 lados y caracterizó exactamente los polígonos que pueden construirse con regla y compás: su número de lados ha de estar compuesto de potencias de 2 y de primos de Fermat (v.)

con n primo. Esto fue lo que lo decidió a hacer la carrera de matemáticas.

Según cuenta él mismo, a los 20 años estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas que no tenía tiempo para escribirlas. En julio de 1796 demostró que todo entero positivo es suma de tres números triangulares y lo anotó en su diario como "¡Eureka! Num =

". El primero en demostrar que un polinomio tiene como máximo tantas raíces distintas como indica su grado fue Gauss. Lo curioso es que esa demostración la hizo con sólo veintiún años, en su tesis doctoral. En 1801, con 24 años, publicó sus Disquisitiones Arithmeticae, donde, entre otras, inventó la aritmética modular porque la necesitaba para profundos teoremas. Fue el primero en usar ampliamente los números complejos (v.) y en expresarlos en su forma binómica junto con sus leyes. En su tesis doctoral (1799), demostró el Teorema Fundamental del Álgebra (v.) por ser uno de los más importantes pilares sobre el que se sustenta todo el álgebra. Fue el primero en emplear geometrías no euclídeas (v.) y en darles tal denominación. Descubrió el teorema de Cauchy, fundamento del análisis de variable compleja. Descubrió la distribución normal (de Gauss), el método de mínimos cuadrados. Su enorme fama aumentó aún más depués de su muerte, al descubrirse, inéditos, una gran cantidad de importantes resultados que él no había querido publicar.

Geometrías no euclídeas

En la primera mitad del siglo XIX surge el advenimiento de geometrías que se denominan no euclídeas debido a que niegan el quinto postulado de Euclides «Por un punto P exterior a una recta r se puede trazar una y sólo una recta paralela a la recta r». La forma de negar esta proposición puede ser de dos formas: o bien no se puede trazar ninguna paralela a r o se pueden trazar infinitas. El primero en utilizar estas ideas fue el matemático alemán Gauss (v.), a quien se debe la denominación de geometría no euclídea. Las primeras publicaciones sobre geometría no euclídea se deben a los matemáticos Janos Bolyai, húngaro, y Nicolaus Ivanovich Lobatchevzki (1793-1856), ruso, quien toma como entes fundamentales el punto, la circunferencia y la esfera; de ellos deduce la recta y el plano, y seguidamente va construyendo toda su geometría. Posteriormente el matemático Riemman en 1854 ideó una geometría que comprendía como casos particulares tanto la euclídea como las no euclídeas de Gauss, Lobatchevski y Bolyai. La geometría de Riemman ha desempeñado un papel fundamental en el desarrollo de la física moderna, hasta el punto que fue sobre dicha geometría en la que Albert Einstein se basó para enunciar la teoría de la relatividad.

Göttingen

En la Universidad de Göttingen hay un cofre que contiene un manuscrito en el que se expone la construcción, usando tan sólo regla y compás, de un polígono regular de 65.537 lados. Solamente pueden construirse polígonos regulares de número primo de lados por el procedimiento clásico cuando el número de lados sea un primo de un tipo especial que se conocen con el nombre de números primos de Fermat (v.): números primos que puedan expresarse en la forma

. Tan solo se conocen cinco números primos de este tipo: 3, 5, 17, 257 y 65.537. En opinión de Coxeter, el pobre matemático que consiguió construir el 65.537-gono, debió invertir en ello unos diez años. Se ignora si existe un polígono con un número primo de lados mayor que el anterior que pueda ser construido a priori con regla y compás. Si tal polígono existe, su construcción efectiva está fuera de la cuestión, pues su número de lados sería astronómico.

Grecia

Existe unanimidad al afirmar que las matemáticas se desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos VII y VI antes de Cristo, una vez que los griegos formalizaron un alfabeto más o menos uniforme, aunque los historiadores modernos admiten que nuestros conocimientos sobre la ciencia de esa época carecen de un sólido fundamento. No existen fuentes primarias ya que los acontecimientos sólo fueron registrados mucho tiempo después de que hubieran sucedido. En este sentido, es casi seguro que las anécdotas e historias referentes a las dos figuras cimeras de la matemática primitiva, Tales de Mileto (hacia 624-548 aC) y Pitágoras de Samos (alrededor de 580-500 aC), sean más o menos legendarias. De lo que parece no haber duda es de que el saber matemático comúnmente atribuido a los primeros griegos era ya conocido por los egipcios y los babilonios muchos siglos antes. Sin embargo, los griegos, que se asentaron de extremo a extremo en toda la región mediterránea, desempeñaron un papel fundamental en la conservación, enriquecimiento y difusión de ese conocimiento. Pero una de sus primeras y principales aportaciones fue el haber utilizado el poder de abstracción. Así, la recta había dejado de ser una cuerda tensa y un rectángulo no era ya el contorno de una parcela. Asimismo, parece totalmente seguro que fueron los filósofos griegos los primeros en darse cuenta de que un enunciado matemático debía de ser demostrado mediante deducción lógica a partir de ciertos hechos fundamentales llamados axiomas. Hasta entonces, las demostraciones matemáticas se habían realizado a partir de la experimentación. El hecho de haber comprendido que una proposición matemática no quedaba demostrada exhibiendo un número suficientemente grande de casos en los que se verificaba, supuso un progreso de la máxima trascendencia en la historia de la ciencia en general y de las matemáticas en particular.

Para poner de manifiesto la diferencia entre las matemáticas griegas y las anteriores (egipcia o babilónico) bastará con recordar los tres problemas clásicos que tanto preocuparon a los griegos y a generaciones posteriores; problemas que, sin embargo, hubieran resultado incomprensibles para las civilizaciones basadas en la experimentación. Son problemas de carácter meramente intelectual, planteados a partir de especulaciones teóricas profundas y que nada tenían que ver con las necesidades prácticas. Estos problemas eran:

La duplicación del cubo. El problema consiste en calcular el lado de un cubo que tuviera doble volumen que otro dado previamente. El lado que se buscaba debía ser obtenido a partir del primitivo mediante la regla y el compás. Se ofrecieron soluciones parciales y aproximadas que, evidentemente, contribuyeron al desarrollo de las matemáticas. Tuvieron que pasar muchos siglos para poder probar que el problema no tenía solución en la forma en que lo planteaban los griegos. En efecto, utilizando coordenadas cartesianas el pro-blema se reduce a resolver la ecuación x³=2.

La trisección del ángulo. También en este caso hubo que esperar a la aparición de la geometría de Descartes para poder resolver el problema algebraicamente.

La cuadratura del círculo utilizando sólo la regla y el compás. Sorprendía a los griegos que dibujando, sólo con regla y compás, no se pudiese construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Este problema preocupó a muchas generaciones de matemáticos. A veces se ofrecieron soluciones aparentes, triviales y sin sentido. Hubo matemáticos que dedicaron una gran parte de su vida a intentar resolver el problema de la cuadratura del círculo (evidentemente sin conseguirlo). La imposibilidad de la cuadratura del círculo fue plenamente probada por Lindemann a finales del siglo pasado, al haber demostrado la transcendencia del número Pi; esto es, Pi no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros.

Estos problemas son la prueba evidente de la revolución que supuso para la historia del pensamiento el paso de la matemática empírica, dedicada a resolver problemas prácticos, a la matemática como estructura del pensamiento, con problemas puramente ideales, propios de filósofos y pensadores. A pesar de su dificultad, estos problemas se difundieron por la sociedad, perduraron a través de los siglos y sirvieron de estímulo para el desarrollo de las matemáticas y, por extensión, de toda la ciencia.